题目内容
18．
如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，
①求直线BC 的解析式；
②当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．
分析 （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；
（2）如图1中，分两种情形讨论①当PD=DC时，当CP=CD时，分别写出点P坐标即可．
（3）先求出BC的解析式，设出点E的横坐标为a，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）如图1，∵y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线的对称轴是直线x=$\frac{3}{2}$．
∴OD=$\frac{3}{2}$．
∵C（0，3），
∴OC=23
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=$\frac{5}{3}$．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（$\frac{3}{2}$，4），P2（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{3}$），P3（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{3}$）；
（3）当y=0时，0=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2
∴x1=-1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F（a，-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN，
=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a2+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a2+2a），
=-a2+4a+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4）．
=-（a-2）2+$\frac{13}{2}$
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=$\frac{13}{2}$，
∴E（2，1）．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
如图，△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，且AD：DB=1：2，cot∠DCB=$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}$．
如图所示，求作一点P，使PC=PD，且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是56cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．
如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE=BC，在BC上取一点F，使BF=AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：