Question

19．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=12，DE=5，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得；
（2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）∵BC=12，∴AD=12，
在Rt△ADE中，DE=5，AD=12，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{1}{2}$×169=84.5．

点评 本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．