Question

11．如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有①②③．（请将正确答案的序号填在横线上）
①∠EAF=45°   
②EA平分∠CEF  
③BE²+DC²=DE²   
④BE=DC．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，根据旋转得出BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判断①，证△EAF≌△EAD，即可判断②，求出BF=DC，∠FBE=90°，根据勾股定理即可判断③，根据已知判断④即可．

解答 解：正确的有①②③，
理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正确；
即∠FAE=∠DAE=45°，
在△FAE和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠FAE=∠DAE}\\{AF=AD}\end{array}\right.$
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠FEA=∠DEA，
即EA平分∠CEF，∴②正确；
∴EF=DE，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE²+BF²=EF²，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，∴③正确；
不能推出BE=DC，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．