题目内容
4．如图1，Rt△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，点D、E分别为AC、AB上的点，且AE=2DC，点F为AD的中点，过点D作AB的平分线交EF的延长线于点G，连接GA、DE、DB．（1）证明：四边形GAED是平行四边形；
（2）填空：当四边形GEBD是平行四边形时，AE的长度为5；
（3）如图2，当GE∥CB时，四边形GAED是什么特殊四边形？写出证明过程并求出此时AE的长度．
分析 （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定；
（2）由四边形GEBD是平行四边形，得到GE∥BD，根据平行线等分线段定理得到结果；
（3）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证得，再由平行线分线段成比例列方程求解．
解答 解：（1）证明：∵DG∥AE，
∴∠G=∠AE○G，∠GDF=∠A，
在△GFD与△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠AEG}\\{∠GDF=∠A}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GFD≌△AFE，
∴GF=EF，
∵DF=AF，
∴四边形GAEF是平行四边形；
（2）当四边形GEBD是平行四边形时，
GE∥BD，
∵AF=DF，
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
故答案为：5；
（3）当GE∥CB时，四边形GAED是菱形，
∵GE∥BC，BC⊥AC，
∴GE⊥AC，
由（1）证得四边形GAED是平行四边形，
∴?GAED是菱形，
∵AE=2CD，AD=8-CD，
∴AF=$\frac{8-CD}{2}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{\frac{8-CD}{2}}{8}$=$\frac{2CD}{10}$，解得：CD=$\frac{40}{21}$，
∴AE=$\frac{80}{21}$．
点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的判定，平行线等分线段定理等知识点．
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19．
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