Question

在△ABC中，AB=AC，D是BC上的中点，E、F分别是AC、AD上的动点，若∠BAC=40°，则当EF+CF取最小值时，∠ECF的度数为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：作出图形，根据等腰三角形三线合一的性质可得点B、C关于直线AD对称，过点B作BE⊥AC于E，根据轴对称确定最短路线问题，EF+CF=BE，再根据垂线段最短可得BE⊥AC时，BE最短，先求出∠CAD，再根据同角的余角相等求出∠CBE=∠CAD，再根据轴对称性可得∠CBF=∠CBE，根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，再根据∠ECF=∠ACB-∠BCF计算即可得解．

解答：解：如图，∵AB=AC，D是BC上的中点，
∴点B、C关于直线AD对称，
过点B作BE⊥AC于E，则EF+CF=BE，
由垂线段最短得，BE⊥AC时，BE最短，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×40°=20°，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
∵AB=AC，D是BC上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACB=90°，
∴∠CBE=∠CAD=20°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ACB=

1

2

×（180°-40°）=70°，
∴∠ECF=∠ACB-∠BCF=70°-20°=50°．
故答案为：50°．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短的性质，熟记各性质并判断出BE⊥AC时EF+CF取最小值是解题的关键，作出图形更形象直观．