Question

3．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．
（1）求证：BD=BC；
（2）若BD=6cm，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD=BC，只要证明△ABC≌△EDB即可．
（2）由E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，推出BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=3cm，由△ABC≌△EDB，得到AC=BE，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DBC}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB，
∴BD=BC．

（2）解：∵E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=3cm，
∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3cm．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．