Question

7．阅读与探究：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和．由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见可以把上述式子记为$\sum_{n=1}^{100}$n，这里$\sum_{\;}^{\;}$是求和的记号．例如1+3+5+7+…+99记作$\sum_{n=1}^{50}$（2n-1．请你计算$\sum_{n=1}^{10}$n=55，$\sum_{n=1}^{2015}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．（直接写出计算结果）

Answer 1

分析 首先根据等差数列的求和方法，求出$\sum_{n=1}^{10}$n的值是多少；然后根据等比数列的求和方法，求出$\sum_{n=1}^{2015}$$\frac{1}{{2}^{n}}$的值是多少即可．

解答 解：$\sum_{n=1}^{10}$n=1+2+3+…+10
=（1+10）×10÷2
=11×10÷2
=110÷2
=55

$\sum_{n=1}^{2015}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$
=$\frac{\frac{1}{2}×[1{-（\frac{1}{2}）}^{2015}]}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$
故答案为：55、1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．

点评 此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及等差数列、等比数列的求和方法，要熟练掌握．