Question

18．如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O
（1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO=CO，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，根据周角定义即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠OBC=90°-α，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）AB、AC边的中垂线交于点O，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，
∴∠AOB+∠AOC=（180°-∠OAB-∠OBA）+（180°-∠OAC-∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC=（180°-2∠OAB）+（180°-2∠OAC）=360°-2（∠OAB+∠OAC）=360°-2∠A=360°-2α，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=2α；

（2）∠ABO+∠ACB为定值，
∵BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-2∠A）=90°-α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A=180°，
∴∠ABO+∠ACB=180°-α-（90°-α）=90°．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，周角的定义，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．