Question

13．如图所示，已知H为△ABC的垂心，点G满足四边形ABGH为平行四边形．I为直线GH上的点，AC交GI于M．且IM=MH．J为CA延长线上一点，且IJ=AH，求证：I、J、G、C四点共圆．（坐标法不得分）

Answer 1

分析 延长CH，BH分别交AB，AC于D，E，由H为△ABC的垂心，得到CD⊥AB，BE⊥AC，过I作IK⊥AC于K，于是得到∠IKM=∠EMH=90°，在根据全等三角形的性质得到HE=IK，根据相似三角形的性质得到$\frac{CH}{AB}=\frac{EH}{AE}$，根据平行四边形的性质得到HG=AB，推出△CHG∽△HEA，于是得到∠GCH=∠EHA，等量代换得到∠GCH=∠JIK，求得∠JIG=∠JCG，于是得到结论．

解答 证明：延长CH，BH分别交AB，AC于D，E，
∵H为△ABC的垂心，
∴CD⊥AB，BE⊥AC，
过I作IK⊥AC于K，
∴∠IKM=∠EMH=90°，
在△IKM与HEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HEM=∠IKM=90°}\\{∠IMK=∠EMH}\\{IM=HM}\end{array}\right.$，
∴△MKI≌△MEH，
∴HE=IK，
在Rt△EHA与△RtKIJ中，$\left\{\begin{array}{l}{HE=IK}\\{AH=IJ}\end{array}\right.$，
∴Rt△EHA≌△RtKIJ，
∴∠EHA=∠KIJ，
∵∠AEB=∠CEH=90°，∠ACH=∠ABE，
∴△CHE∽△BAE，
∴$\frac{CH}{AB}=\frac{EH}{AE}$，
∵四边形ABGH为平行四边形，
∴HG=AB，
∴$\frac{CH}{HG}$=$\frac{EH}{AE}$，
∵∠AEH=∠CHG=90°，
∴△CHG∽△HEA，
∴∠GCH=∠EHA，
∴∠GCH=∠JIK，
∴∠JCG=∠KIJ+∠MIK，
∠JCG=∠GCH+∠JCH，
∴∠JIG=∠JCG，
∴I、J、G、C四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，三角形的垂心的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．