Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则△A′CD的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据旋转的性质得CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，则△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′=60°，则可计算出∠BCA′=30°，∠A′DC=90°，然后在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三边的关系得A′D=$\frac{1}{2}$CA′=1，CD=$\sqrt{3}$A′D=$\sqrt{3}$，再利用三角形面积公式求解．

解答 解：在Rt△ACB=90°，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=30°，
∴∠A′DC=90°，
在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30°，
∴A′D=$\frac{1}{2}$CA′=1，CD=$\sqrt{3}$A′D=$\sqrt{3}$，
∴△A′CD的面积=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．