Question

如图，在等腰△ABC中，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线．求证：BD+AD=BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，易证△ABD≌△ACD'，可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，即可求得A'D'=AD'，即可解题．

解答：证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，

∵A'B=A'C，AB=AC，
∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
∵在△ABD和△ACD'中，

AB=AC ∠ABD=∠ACD′ BD=CD′

，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACD'是解题的关键．