题目内容
（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线
上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚
（1）①略
②相等．理由略
（2）存在，E点的坐标为E1（2，3）；；
解析:（本小题满分12分）
﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．
∵ AD∥BC，AD＝BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
∴ AB∥CD．
∴ ME=NF．
∵S△ABM＝
，S△ABN＝
，
∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．
则∠DHA=∠EKB=90°．
∵ AD∥BE，
∴ ∠DAH=∠EBK．
∵ AD＝BE，
∴ △DAH≌△EBK．
∴ DH=EK． ……………………………2分
∵ CD∥AB∥EF，
∴S△ABM＝
，S△ABG＝
，
∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3分
﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得
.
∴ 该抛物线的表达式为，即
． ………………………5分
∴ D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得
，解得
.
∴ 直线AD的表达式为．
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，则PF=，EF＝
．
∴ EP＝EF－PF＝=
．
∴ ．
解得，
． ……………………………7分
当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．
∴ E点坐标为（2，3）．
同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则． ……………………………………………9分
∴．解得
，
． ………………………………10分
当时，E点的纵坐标为
；
当时，E点的纵坐标为
．
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；
． ………………12分
﹙其他解法可酌情处理﹚
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