Question

6．（1）正方形ABCD中，AI平分∠BAC，交BD于I，求证：ID=CD．
（2）正方形ABCD中，E、F分别是BC和BA延长线上的点，AF=CE，IF平分∠BFE，求证：ID=CD．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠BAC=∠ABD=45°，根据角平分线的定义得到∠BAI=∠CAI=22.5°，求得∠DAI=∠DIA，根据等腰三角形的性质得到AD=DI，等量代换即可得到结论；
（2）连接DF，根据全等三角形的性质得到DF=DE，∠1=∠2，求得∠EDF=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠DFE=45°，由角平分线的定义得到∠BFI=∠EFI，求得∠DFI=∠DIF，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ABD=45°，
∵AI平分∠BAC，
∴∠BAI=∠CAI=22.5°，
∴∠DAI=∠DAC+∠CAI=67.5°，∠DIA=∠ABD+∠BAI=67.5°，
∴∠DAI=∠DIA，
∴AD=DI，
∵AD=CD，
∴ID=CD；
（2）连接DF，
在△ADF与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{∠DAF=∠DCE=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
∵∠2+∠ADE=90°，
∴∠1+∠ADE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴∠DFE=45°，
∵IF平分∠BFE，
∴∠BFI=∠EFI，
∴∠DFI=45°+∠EFI，∠DIF=45°+∠BFI，
∴∠DFI=∠DIF，
∴DF=DI，
∴DI=DE．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与和性质，等腰直角三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．