将抛物线C1:y=(x+2)2-2绕原点0逆时针旋转180°后再向下平移1个单位.得抛物线C2．(1)请直接写出抛物线C2的表达式,(2)现将抛物线C1向右平移m个单位长度.平移后得的新抛物线的顶点为M.与x轴的交点从左到右依次为A.B,将抛物线C2向左也平移m个单位长度.平移后得到的新抛物线的顶点为N.与直线y=-1交点从左到右依次为D.E．①如图1.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．将抛物线C₁：y=（x+2）²-2绕原点0逆时针旋转180°后再向下平移1个单位，得抛物线C₂．
（1）请直接写出抛物线C₂的表达式；
（2）现将抛物线C₁向右平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C₂向左也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与直线y=-1交点从左到右依次为D，E．
①如图1，当M、B、N三点共线时，求m的值；
②如图2，在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求得旋转后解析式，再根据平移的性质即可得到抛物线C₂的表达式；
（2）①如图1，根据平移的性质得到M点坐标为（-2+m，-2），B点坐标为（m，0），N点坐标为（2-m，1），过M，N分别作x轴的垂线MH，NK，可得△BMH∽△BNK，根据相似三角形的性质即可得到m的值；
②如图2，过M，N分别作x轴的垂线MH，NK，连结MN，根据菱形的性质得到AN=AM，得到关于m的方程，解方程即可求解．

解答解：（1）∵y=（x+2）²-2绕原点0逆时针旋转180°，
∴旋转后解析式为：-y=（-x+2）²-2，
∴y=-（x-2）²+2，
∵再向下平移1个单位，
∴y=-（x-2）²+1；

（2）①如图1，

∵将抛物线C₁向右平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C₂向左也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与直线y=-1交点从左到右依次为D，E．
∴M点坐标为（-2+m，-2），B点坐标为（m，0），N点坐标为（2-m，1），
过M，N分别作x轴的垂线MH，NK，
则△BMH∽△BNK，
∴$\frac{2}{2-m+m}$=$\frac{1}{2-m-m}$，
解得m=$\frac{1}{2}$．
②如图2，过M，N分别作x轴的垂线MH，NK，连结MN，

∵AM∥NE，
∴四边形AMEN为平行四边形，
若四边形AMEN为菱形，
则AN=AM，
∴$\sqrt{[{（2-m）-（-4+m）]}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
解得m=$\frac{6±\sqrt{7}}{2}$．
故符合条件的m的值为$\frac{6±\sqrt{7}}{2}$．