Question

如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=

k

x

交于点A（3，-

20

3

）、点B（-5，a）两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

过点A（3，-

20

3

），
∴-

20

3

=

k

3

，
解得：k=-20，
∵双曲线y=

k

x

过点B（-5，a），
∴a=

-20

-5

=4，
∴点B的坐标为：（-5，4）；
设直线AB的解析式为：y=mx+n，

3m+n=- 20 3 -5m+n=4

，
解得：

m=- 4 3 n=- 8 3

，
∴直线AB的解析式为：y=-

4

3

x-

8

3

；

（2）四边形CBED是菱形．
证明：∵直线AB与x轴交于点C，
∴-

4

3

x-

8

3

=0，
解得：x=-2，
∴点C（-2，0），
∵AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E，
∴点E（0，4），点D（3，0），
∴BE=CD=5，
∵BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵DE=

OD2+OE2

=5，
∴BE=DE，
∴四边形CBED是菱形．

点评：此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、勾股定理以及菱形的判定等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．