题目内容

长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM=∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中， $数学公式$ 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，
∴B（-5，-3）．

（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知： $\text{[math]}$ ×AB×AP= $\text{[math]}$ ×OA×OC，
即 $\text{[math]}$ ×3×AP= $\text{[math]}$ ×5×3，
∴AP=2
∵OA=5，
∴OP=3，
∴P（-3，0），
若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知： $\text{[math]}$ ×BC×PC= $\text{[math]}$ ×OA×OC，
即 $\text{[math]}$ ×5×PC= $\text{[math]}$ ×5×3，
∴PC= $\text{[math]}$
∵OC=3，
∴OP= $\text{[math]}$ ，
∴P（0，- $\text{[math]}$ ）．
综上所述，点P的坐标为（-3，0）或（0，- $\text{[math]}$ ）．

（3）延长BC至点F，
∵四边形OABC为长方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB．
过点M作ME∥CD交BC于点E，
∴∠EMC=∠MCD．
又CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC．
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠MCF-2∠NCM=2∠D，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据第三象限点的坐标性质得出答案；
（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；
（3）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠MCF-2∠NCM，得出答案．
点评：此题主要考查了平行线的性质以及矩形的性质、图形面积求法等知识，利用数形结合得出的是解题关键．