Question

17．如图，在平面直角坐标系中的两点A（m，0），B（2m，0）（m＞0），二次函数y=ax²+bx+m的图象与x轴交与A、B两点与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）当m=1时，直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，二次函数y=ax²+bx+m的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1；
（2）求二次函数y=ax²+bx+m的解析式为y=$\frac{1}{2m}$x²-$\frac{3}{2}$x+m（用含m的式子表示）；
（3）连接AC、AD、BD，请你探究$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABD}}$的值是否与m有关？若有关，求出它与m的关系；若无关，说明理由；
（4）当m为正整数时，依次得到点A₁，A₂，…，A_m的横坐标分别为1，2，…m；点B₁，B₂，…，B_m 的横坐标分别为2，4，…2m（m≤10）；经过点A₁，B₁，点A₂，B₂，…，点A_m，B_m的这组抛物线y=ax²+bx+m分别与y轴交于点C₁，C₂，…，C_m，由此得到了一组直线B₁C₁，B₂C₂，…，B_mC_m，在点B₁，B₂，…，B_m 中任取一点B_n，以线段OB_n为边向上作正方形OB_nE_nF_n，若点E_n在这组直线中的一条直线上，直接写出所有满足条件的点E_n的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（3）结论：$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABD}}$的值与m无关．分别求出△AOC，△ABD的面积（用m表示）即可解决问题；
（4）画出图象，利用图象即可解决问题；

解答 解：（1）m=1时，A（1，0），B（2，0），C（0，1）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
把A（1，0），B（2，0）代入y=ax²+bx+1，得到$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{4a+2b+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．
故答案为y=-$\frac{1}{2}$x+1，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．


（2）由已知二次函数y=ax²+bx+m的图象的图象经过A、B两点，得到
$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}a+mb+m=0}\\{4{m}^{2}a+2mb+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2m}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2m}$x²-$\frac{3}{2}$x+m．
故答案为y=$\frac{1}{2m}$x²-$\frac{3}{2}$x+m．

（3）结论：$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABD}}$的值与m无关．
理由：如图1中，连接AC、AD、BD，作DE⊥AB于E．

∵y=$\frac{1}{2m}$x²-$\frac{3}{2}$x+m=$\frac{1}{2m}$（x-$\frac{3}{2}$m）²-$\frac{m}{8}$，
∴D（$\frac{3}{2}$m，-$\frac{m}{8}$），
∴DE=$\frac{m}{8}$，
∵A（m，0），B（2m，0），
∴OA=m，OC=m，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$m²，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}}{\frac{{m}^{2}}{16}}$=8，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABD}}$的值与m无关．

（4）如图2中，

观察图象可知，满足条件的点E的坐标分别为：E₁（2，2），E₂（4，4），E₃（6，6）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会画出图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．