Question

2．在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=∠ADC=45°，BD=6，DC=4
（1）当D、B在AC同侧时，求AD的长；
（2）当D、B在AC两侧时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥AD交DC的延长线于E，证明△ABD≌△ACE，得到CE=BD=6，DE=10，根据等腰直角三角形的性质计算即可；
（2）过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，证明△ABD≌△ACE，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）如图1，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于E，
∵∠ADC=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=6，DE=10，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=5$\sqrt{2}$；
（2）如图2，过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=EC=6，∠CDE=∠ADC﹢∠ADE=90°，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．