Question

如图，△ABC和△ACF均为等边三角形，点D、E分别为AD，BE边上的点，且AD=BE，AE与CD交于G点，连接GF．
（1）求∠EGC的度数；
（2）求证：AG+CG=GF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）由条件证明△ABE≌△CAD可得到∠BAE=∠ACD，再利用角的和差可求得∠EGC的度数；
（2）延长CD到H，使HG=AG，连接AH，证明△HAC≌△GAF即可．

解答：（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABE=∠CAD=60°，
又∵AD=BE，
在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠ABE=∠CAD BE=AD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠ACD，
则∠EGC=∠GAC+∠ACD=∠GAC+∠BAE=∠BAC=60°；
（2）证明：延长CD到H，使HG=AG，连接AH，
∵∠AGH=∠EGC=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴AG=AH，∠HAG=60°，
∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，∠CAF=60°，
∴∠HAC=∠FAG+∠GAC=60°+∠GAC
∠GAF=∠CAF+∠GAC=60°+∠GAC
∴∠HAC=∠GAF，
在△HAC和△GAF中，

AH=AG ∠HAC=∠GAF AC=AF

，
∴△HAC≌△GAF（SAS），
∴HC=GF，
∵HC=HG+GC=AG+GC，
∴AG+GC=GF．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件找到可以证明全等的三角形是解题的关键，如果找不到也可以构造．