Question

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点M是$\widehat{AB}$的中点，CM交AB于点N，⊙O的半径为R，求MN•MC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，可证明OC∥AD，再结合OC=OA，可证明∠DAC=∠ACO=∠CAO，可证得结论；
（2）连接MA，可证明△MBN∽△MCB，可得BM²=MN•MC，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得BM，可求得答案．

解答 （1）证明：
如图1，连接OC，

∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
又AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
又OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：
如图2，连接MA，

∵点M是弧AB的中点，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠ACM=∠BCM，
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM，
∵∠BMC=∠BMN，
∴△MBN∽△MCB，
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{MN}{BM}$，
∴BM²=MC•MN
∵AB是⊙O的直径，$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠AMB=90°，AM=BM，
∵AB=2R，
∴BM=$\frac{2R}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$R，
∴MC•MN=BM²=2R²．

点评 本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定和性质，在（1）中利用切线证明AD∥OC是解题的关键，在（2）中证明△MBN∽△MCB，从而找到BM和MC•MN的关系是解题的关键．