题目内容
如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）
（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；
（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；
（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．
解：（1）a+2b．
（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为
cm，
圆心O移动的距离为
cm，
由题意，得
． ①
∵点P移动2s到达B点，即点P用2s移动了bcm，
点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了
cm．
∴
． ②
由①②解得
∵点P移动的速度与⊙O 移动的速度相等，
∴⊙O 移动的速度为
（cm/s）．
∴这5s时间内圆心O移动的距离为5×4=20（cm）．
（3）存在这种情形．
解法一：设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，
由题意，得
．
如图，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G．
若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．
易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．
∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．
∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP．
设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，
在Rt△PCD中，由勾股定理，可得
，
即
，解得
．
∴此时点P移动的距离为
（cm）．
∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．
∴
，即
．
∴EO1=16cm．∴OO1=14cm．
①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，
∴此时点P与⊙O移动的速度比为
．
∵
，
∴此时PD与⊙O1不可能相切．
②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），
∴此时点P与⊙O移动的速度比为
．
∴此时PD与⊙O1恰好相切．
解法二：∵点P移动的距离为
cm（见解法一），
OO1=14cm（见解法一），
，
∴⊙O应该移动的距离为
（cm）．
①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm≠18 cm，
∴此时PD与⊙O1不可能相切．
②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），
∴此时PD与⊙O1恰好相切．
解法三：点P移动的距离为cm，（见解法一）
OO1=14cm，（见解法一）
由可设点P的移动速度为5k cm/s，⊙O的移动速度为4k cm/s，
∴点P移动的时间为
（s）．
①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为
，
∴此时PD与⊙O1不可能相切．
②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为
，
∴此时PD与⊙O1恰好相切．
名校课堂系列答案
天生产的粽子数量为
只，
【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图，设第
元，求
天利润达到最大值，若要使第（
）天的利润比第
，则
的值为 ．
的根，则三角形的周长为
= 