Question

3．在△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则tan∠ACB的值为2或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，设AD=x，BD=CD=y，利用三角形面积公式和勾股定理得到xy=10，x²+y²=5²，再利用代数式变形得到x+y=3$\sqrt{5}$，x-y=±$\sqrt{5}$，则解得x=2$\sqrt{5}$，y=$\sqrt{5}$或x=$\sqrt{5}$，y=2$\sqrt{5}$，然后根据正切的定义求解．

解答 解：作AD⊥BC于D，如图，则BD=CD，
设AD=x，BD=CD=y，
∵$\frac{1}{2}$AD•BC=10，AD²+BD²=AC²，
∴xy=10，x²+y²=5²，
∴（x+y）²-2xy=25，（x-y）²+2xy=25，
∴x+y=3$\sqrt{5}$，x-y=±$\sqrt{5}$，
∴x=2$\sqrt{5}$，y=$\sqrt{5}$或x=$\sqrt{5}$，y=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ACD中，tan∠C=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{x}{y}$，
当x=2$\sqrt{5}$，y=$\sqrt{5}$，tanC=2；
当x=$\sqrt{5}$，y=2$\sqrt{5}$，tanC=$\frac{1}{2}$．
即tan∠ACB的值为2或$\frac{1}{2}$．
故答案为2或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．