Question

已知

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

，且xyz≠0，则分式

(x+y)(y+z)(z+x)

xyz

的值为

8或-1

．

Answer 1

分析：设

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

=k，将原式变形为：x+y=kz，x+z=ky，y+z=kx，就有2（x+y+z）=k（x+y+z），当x+y+z=0时，就有x+y=-z，x+z=-y，y+z=-x，可以求出其值，当x+y+z≠0时，可以求出k=2，可以求出其值．

解答：解：∵

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

，设

x+y

z

=

x+z

y

=

y+z

x

=k，
∴x+y=kz，x+z=ky，y+z=kx，
∴k（x+y+z）=2（x+y+z），
当x+y+z=0时，则x+y=-z，x+z=-y，y+z=-x，
原式=

-z•(-x)•(-y)

xyz

，
=-1；
当x+y+z≠0时，则k=2，
原式=

kz．kx．ky

xyz

=k³=8．
故答案为：-1或8．

点评：本题考查了分式的化简求值，涉及了数学分类思想和设参数法再分式化简求值中的运用，本题难度一般，但需要认真思考，在解答中容易漏解．