Question

16．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离； 
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可以证明△PBQ是等边三角形，即可解决问题．
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠PQC=90°，由∠BQC=∠APB，即可解决问题．

解答 解：（1）连接PQ，

由旋转性质有：
BQ=BP=8，QC=PA=6，∠QBC=∠ABP，∠BQC=∠BPA，
∴∠QBC+∠PBC=∠ABP+∠PBC
即∠QBP=∠ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠QBP=60°，
∴△BPQ是正三角形，
∴PQ=BP=BQ=8．

（2）在△PQC中，PQ=8，QC=6，PC=10
∴PQ²+QC²=PC²，
∴∠PQC=90°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°．

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．