题目内容

如图，已知⊙O上的三点A、B、C，且AB=AC=6cm，BC=10cm
（1）求证：∠AOB=∠AOC；
（2）求圆片的半径R（结果保留根号）；
（3）若在（2）题中的R的值满足n＜R＜m（其中m、n为正整数），试估算m的最小值和n的最大值．

（1）证明：∵AB=AC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠AOB=∠AOC；

（2）解：设OA交BC于点D，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OA⊥BC，
∴BD= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ×10=5（cm），
∵AB=6cm，
∴在Rt△ABD中，AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （cm），
∵OB=Rcm，
则OD=（R- $\text{[math]}$ ）cm，
∵OB²=OD²+BD²，
∴R²=（R- $\text{[math]}$ ）²+25，
解得：R= $\text{[math]}$ （cm）；

（3）∵3＜ $\text{[math]}$ ＜4，
∴4＜ $\text{[math]}$ ＜6
∴m=6，n=4．
分析：（1）由AB=AC，根据弧、圆心角、弦的关系，即可证得：∠AOB=∠AOC；
（2）由垂径定理，可求得BD的长，然后由勾股定理求得AD的长，继而可得方程：R²=（R- $\text{[math]}$ ）²+25，解此方程即可求得答案；
（3）首先估计 $\text{[math]}$ 的取值范围，则可求得R的取值范围，继而求得答案．
点评：此题考查了垂径定理，圆心角、弧弦的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．