Question

4．如图，抛物线y=-x²+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过抛物线的顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F，已知点A的坐标为（-1，0）．
（1）求该抛物线的顶点M的坐标；
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入y=-x²+2x+c即可求得点c的值，从而可以求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点B、M的坐标，从而可以求得△EMF与△BNF的面积之比．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-1，0）在抛物线y=-x²+2x+c上，
0=-（-1）²+2×（-1）+c，
解得，c=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）；
（2）∵点A的坐标为（-1，0），顶点M的坐标为（1，4），
∴点E（0，4），点B（3，0），
设过点EB的直线解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{4}{3}x+4$，
当x=1时，y=-$\frac{4}{3}$×1+4=$\frac{8}{3}$，
∴点F（1，$\frac{8}{3}$），
∴ME=1，MF=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，NF=$\frac{8}{3}$，BN=3-1=2，
∴△EMF与△BNF的面积之比是：$\frac{\frac{1×\frac{4}{3}}{2}}{\frac{2×\frac{8}{3}}{2}}$=$\frac{1}{4}$，
即△EMF与△BNF的面积之比是：1：4．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．