题目内容
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.
（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论.
（2）①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论.
②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.
试题解析：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.
（2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G，
∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG，∠3=45°.
∵BM=2DE，∴BM=2BG，即点G是BM的中点.∴EG是BM的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC，∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.
考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.线段垂直平分线的判定和性质.
今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为y=－
x+5．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表：
时间x（单位：年，x为正整数） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
单位面积租金z（单位：元/平方米） | 50 | 52 | 54 | 56 | 58 |
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（1）求出z与x的函数关系式；
（2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？
