Question

2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC
（1）求证：AM平分∠DAB；
（2）若AD=5，BC=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线性质求出即可；
（2）过M作ME⊥AD于E根据角平分线的性质得到ME=BM=$\frac{1}{2}$BC=2，证得R_t△AEM≌R_t△ABM，同理R_t△DCM≌R_t△DEM，于是得到四边形ABCD的面积=2S_△AMD=2×$\frac{1}{2}$×5×2=10．

解答 （1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；

（2）过M作ME⊥AD于E，∵∠B=90°，
∴ME=BM=$\frac{1}{2}$BC=2，
在R_t△AEM与R_t△ABM中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=ME}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEM≌R_t△ABM，
同理R_t△DCM≌R_t△DEM，
∴四边形ABCD的面积=2S_△AMD=2×$\frac{1}{2}$×5×2=10．

点评 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．