Question

13．△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，联结DE，DE是△ABC的一条中位线，点G是△ABC的重心，设$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{DE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$（用含$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的式子表示）

Answer 1

分析 延长AG交BC于点F，根据重心的性质可得出$\overrightarrow{AF}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$，由DE为△ABC的中位线可得出$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，根据$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，结合$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AB}$，即可用含$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的式子表示出$\overrightarrow{DE}$．

解答 解：延长AG交BC于点F，如图所示．
∵点G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$．
∵DE是△ABC的一条中位线，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了三角形的重心、三角形中位线定理以及平面向量，根据三角形重心的性质找出$\overrightarrow{AF}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$是解题的关键．