Question

10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

解答 解：（Ⅰ）AE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
证明：以A为原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（6，1.5），E（1，2），F（5，$\frac{7}{2}$），
∴直线AE的解析式y_AE=2x，直线BF的解析式为y_BF=-2x+$\frac{27}{2}$，
设p（m，2m），Q（n，-2n+$\frac{27}{2}$）（0＜m＜n＜6），
∴AP²=m+²（2m）²=5m²，PQ²=（m-n）²+（2m+2n-$\frac{27}{2}$）²
BQ²=（n-60²+（-2n+12）²=5（n-6）²，
∵AP=PQ=BQ，
∴5m²=5（n-6）²=5n²-54m-54n，由5m²=5（n-6）²得m=6-n，m=n-6（舍去），把m=6-n代入得n=4.5，n=$\frac{63}{2}$（舍去），
∴P（1.5，3），Q（4.5，4.5）．

点评 本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．