Question

4．抛物线y=ax²+bx-3交x轴于B、C两点，且B的坐标为（-2，0）直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A（4，3）
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，过P作PQ∥x轴，且PQ=4（点Q在P点右侧）．以PQ为一边作矩形PQEF，且点E在直线AB上．求矩形PQEF的最大值．并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接AP、BP，设QE交于x轴于点D，现即将矩形PQEF沿射线DB以每秒1个单位长度的速度平移，当点D到达点B时停止，记平移时间为t，平移后的矩形PQEF为P′Q′E′F′，且Q′E′分别交直线AB、x轴于N、D′，设矩形P′Q′E′F′与△ABP的重叠部分面积为s，当NA=$\frac{\sqrt{5}}{8}$ND′时，求s的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线和直线的解析式，
（2）先确定出要使周长最大，EQ最大即可，求出EQ函数关系式即可；
（3）①N在线段AE上时QJ=$\frac{18}{7}$，IP=$\frac{9}{2}$，再求出面积S=S_梯形+S_△IDA，②N在AB上时，MQ=2，NK=1在计算面积即可S=S_梯形MQPI+S_梯形PKNI

解答 解：∵B的坐标为（-2，0）直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∵抛物线过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{16a+4b-3=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3，
（2）由矩形的周长为2（PQ+EQ）=8+2EQ，要使周长最大，EQ最大即可，
设P（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a-3），
∴Q（a+4，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a-3），E（a+4，$\frac{1}{2}$a+3），
∴EQ=$\frac{1}{2}$a+3-（$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a-3）=-$\frac{1}{2}$（a-1）²+$\frac{13}{2}$，
∴当a=1时，EQ最大，P（1，-3），
（3）如图2，

①N在线段AE上时，有DD′=t，OD′=5-t，D′（5-t，0），N（5-t，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{2}$），
过点A作AH⊥ND′，
∴AH∥x轴，
∴NH=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{2}$-3=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，
∴M（0，1）
∴OM=1，
∴BM=$\sqrt{5}$，
∴sin∠MBO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵AH∥x轴，
∴∠NAH=∠MBO，
∴sin∠MBO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{NH}{NA}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴NA=$\sqrt{5}$（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$）
由NA=$\frac{\sqrt{5}}{8}$ND′
∴$\sqrt{5}$（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{5}}{8}$（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{2}$），
∴t=$\frac{1}{7}$，
∵BP的解析式为y=-x-2，
x_J=$\frac{6}{7}$，y_J=-$\frac{20}{7}$，
∴J（$\frac{6}{7}$，-$\frac{20}{7}$），
∵M（$\frac{6}{7}$，$\frac{10}{7}$），
∴MJ=$\frac{30}{7}$，
同理：IP=$\frac{9}{2}$，
∴S=S_梯形+S_△IPA=$\frac{103}{14}$，
②N在AB上时，同①的方法一样，S=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{9}{2}$）×$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{9}{2}$）×（$\frac{10}{3}$-1）=$\frac{49}{6}$

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积的计算，锐角三角函数，平面坐标系中线段的求法，解本题的关键是用平面坐标系中两点间的距离公式计算线段，难点是表示出点的坐标．