Question

2．如图，矩形ABCD在平面直角坐标中，AB在x轴上，AB=6，E点坐标为（0，3），直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于A点．
（1）求A点和B点的坐标；
（2）动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm²），
①当t=2和t=4时，求S的大小；
②求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用x轴上点的坐标特征易得A（-4，0），由于AB=6，OA=4，则OB=2，从而可得B点坐标；
（2）①利用勾股定理计算出AE=5，作QH⊥AB于H，如图1，当t=2时，点P在AB上，易得AP=4，AQ=1，通过证明△AQH∽△AEO，利用相似比可计算出QH=$\frac{6}{5}$，然后利用三角形面积公式计算S；当t=4时，点P在BC上，BP=2，AQ=4，如图2，通过证明△AQH∽△AEO，利用相似比计算出QH=$\frac{12}{5}$，AH=$\frac{16}{5}$，然后利用S=S_△AQH+S_梯形QHBP进行计算；
（3）分类讨论：当0＜t≤3时，如图1，作QH⊥AB于H，如图1，点P在AB上，则AP=2t，AQ=t，与（2）类似方法得到QH=$\frac{3t}{5}$，则利用三角形面积公式可得S=$\frac{3}{5}$t²；当3＜t≤$\frac{9}{2}$时，点P在BC上，如图2，则AQ=t，BP=2t-6，类似得到QH=$\frac{3}{5}$t，AH=$\frac{4}{5}$t，则利用S=S_△AQH+S_梯形QHBP可得S=-$\frac{4}{5}$t²+$\frac{51}{5}$t-18；当$\frac{9}{2}$＜t≤5时，点P在CE上，如图3，过点Q作QH⊥AB于H，交CD于M，则AQ=t，PC=2t-9，同理可得QH=$\frac{3}{5}$t，则QM=3-$\frac{3}{5}$t，则利用S=S_梯形ABCE-S_△QPE可得S=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{63}{10}$t-$\frac{9}{2}$．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，则A（-4，0），
∵AB=6，OA=4，
∴OB=2，
∴B点坐标为（2，0）；
（2）①在Rt△ADE中，OE=3，OA=4，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5，
作QH⊥AB于H，如图1，
当t=2时，点P在AB上，AP=2×2=4，AQ=2×1=1，
∵GH∥OE，
∴△AQH∽△AEO，
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$，即$\frac{QH}{3}$=$\frac{2}{5}$，解得QH=$\frac{6}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{6}{5}$=$\frac{12}{5}$；
当t=4时，点P在BC上，BP=2，AQ=4，如图2，
∵QH∥OE，
∴△AQH∽△AEO，
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$=$\frac{AH}{AO}$，即$\frac{QH}{3}$=$\frac{4}{5}$=$\frac{AH}{4}$，解得QH=$\frac{12}{5}$，AH=$\frac{16}{5}$，
∴S=S_△AQH+S_梯形QHBP=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$+$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{12}{5}$）×（6-$\frac{16}{5}$）=10；
（3）当0＜t≤3时，作QH⊥AB于H，如图1，
点P在AB上，AP=2t，AQ=t，
∵GH∥OE，
∴△AQH∽△AEO，
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$，即$\frac{QH}{3}$=$\frac{t}{5}$，解得QH=$\frac{3t}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{5}$t²；
当3＜t≤$\frac{9}{2}$时，点P在BC上，如图2，AQ=t，BP=2t-6，
∵GH∥OE，
∴△AQH∽△AEO，
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$=$\frac{AH}{AO}$，即$\frac{QH}{3}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{AH}{4}$，解得QH=$\frac{3}{5}$t，AH=$\frac{4}{5}$t，
∴S=S_△AQH+S_梯形QHBP=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{4}{5}$t+$\frac{1}{2}$×（2t-6+$\frac{3}{5}$t）×（6-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{4}{5}$t²+$\frac{51}{5}$t-18；
当$\frac{9}{2}$＜t≤5时，点P在CE上，如图3，
过点Q作QH⊥AB于H，交CD于M，则AQ=t，PC=2t-3-6=2t-9，
同理可得QH=$\frac{3}{5}$t，则QM=3-$\frac{3}{5}$t，
∴S=S_梯形ABCE-S_△QPE=$\frac{1}{2}$（2+6）×3-$\frac{1}{2}$[2-（2t-9）]×（3-$\frac{3}{5}$t）=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{63}{10}$t-$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了一次函数综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；学会构建相似三角形，利用相似比计算线段的长；记住三角形面积公式和梯形的面积公式；学会利用代数式法解决动点问题和分类讨论的思想的运用．