Question

13．如图，矩形ABCD，设AB=a，AD=b且（a＞b）
（1）若a，b为方程x²-kx+k+4=0的两根，且a，b满足a²+b²=40，求k的值．
（2）在（1）的条件下，P为DC上一动点（P不同于D，C两点），当P在什么位置时，△APB为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的根与系数的关系得出a+b=k，ab=k+4，由已知条件得出（a+b）²-2ab=40，得出k的方程，解方程即可；
（2）设PD=x，求出原方程的解得出AB=6，AD=2，则CP=6-x，证出△ADP∽△PCB，得出对应边成比例，解方程求出PD即可．

解答 解：（1）∵a，b为方程x²-kx+k+4=0的两根，
∴a+b=k，ab=k+4，
∵a²+b²=40，
∴（a+b）²-2ab=40，
即k²-2（k+4）=40，
解得：k=8，或k=-6（不合题意，舍去），
∴k=8；
（2）如图所示：
设PD=x，
∵k=8，
∴方程为x²-8x+12=0，
解得：x=6，或x=8，
∴AB=a=6，AD=b=2，
∴CP=6-x，
∵∠APB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠D=∠C=90°，
∴△ADP∽△PCB，
∴$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$，即$\frac{2}{6-x}=\frac{x}{2}$，
解得：x=3±$\sqrt{5}$，
即PD=3±$\sqrt{5}$时，△APB为直角三角形．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、矩形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由一元二次方程的根与系数的关系求出a、b是解决问题的关键．