Question

4．2017年4月20日19点41分，天舟一号由长征七号火箭发生升空，经过一天多的飞行，4月22日中午，天舟一号与天宫二号空间实验室进行自动交会对接，形成组合体，某商家根据市场预测，购进“天舟一号”（记作A）、“天宫二号”（记作B）两种航天模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．
（1）求购进A，B两种模型每件需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种模型，考虑到市场需求，要求购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，且B种模型最多购进33件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种模型可获利润20元，每件B种模型可获利润30元，在第（2）问的前提下，设销售总盈利为W元，购买B种模型m件，请求出W关于x的函数关系式，并求出当m为何值时，销售总盈利最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）设购进A，B两种模型每件分别需x元，y元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进A种模型a件，购进B种模型b件，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润=两种模型的利润之和建立解析式，由解析式的性质就可以求出结论．

解答 解：（1）设购进A，B两种模型每件分别需x元，y元．
由题意$\left\{\begin{array}{l}{10x+5y=1000}\\{4x+3y=550}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=25}\\{y=150}\end{array}\right.$，
答：购进A，B两种模型每件分别需25元，150元．

（2）设购进A种模型a件，购进B种模型b件．
由题意$\left\{\begin{array}{l}{25a+150b=10000}\\{a≤8b}\end{array}\right.$，
∵B种模型最多购进33件，
∴$\frac{200}{7}$≤b≤33，
∵b是整数，
∴b=29，30，31，32，33，则对应的a为226，220，214，208，202，
故商店共有5种进货方案：
A种模型：226件，购进B种模型29件．
A种模型220件，购进B种模型30件．
A种模型214件，购进B种模型31件．
A种模型208件，购进B种模型32件．
A种模型202件，购进B种模型33件．

（3）若购买B种模型m件，则A种模型$\frac{10000-150m}{25}$件，即（400-6m）件，
w=20（400-6m）+30m=-90m+8000，
∵-90＜0，
∴当m=29时，w最大，最大值为5390元．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．