Question

4．在直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点A（0，3），点B（4，0），CD⊥x轴，垂足为D．
（1）说明△AOB与△CBD全等的理由；
（2）求C点坐标；
（3）若点E（-3，0），连接EA，在直角坐标系中求点P使得△PAE是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△AOB与△CBD全等即可；
（2）利用全等三角形的性质解答即可；
（3）根据坐标与图形性质和勾股定理即可求出P点的坐标即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，CD⊥x轴，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，∠ABO+∠CBD=90°，AB=BC，
∴∠ABO=∠BCD，∠BAO=∠CBD，
在△AOB与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠BCD}\\{AB=BC}\\{∠BAO=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CBD（ASA）；
（2）∵△AOB≌△CBD，
∴CD=OB=4，BD=OA=3，
∴点C的坐标为（7，4）；
（3）∵点A（0，3），E（-3，0），到原点的距离都为3，
∴要使△APE为等腰直角三角形，点P的坐标为（0，0）或（-3，3）或（0，-3）或（-6，3）或（-3，6）或（3，0）．

点评 此题考查全等三角形的判定，关键是根据ASA证明三角形全等和利用等腰直角三角形的性质分析．