Question

已知抛物线，
（Ⅰ）若，，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

Answer 1

解（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是和．
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与x轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有c≤． 
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与x轴只有一个公共点． 
②当时，
时，，
时，．
由已知时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，
考虑其对称轴为，应有 即
解得．
综上，或．
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴ ．
于是．而，∴，即．
∴． 
∵关于x的一元二次方程的判别式，
 
∴抛物线与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．
又该抛物线的对称轴，
由，，，得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．