Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8）．点P是y轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线O′A交于点F．
（1）当点P在y轴正半轴，且∠OAP=30°时，求点O′的坐标，并判断点O′落在矩形OABC的内部还是外部．
（2）当O′落在直线BC上时，求直线O′A的解析式．
（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据折叠的性质，可得对应角相等，对应线段相等，根据等边三角形的判定与性质，可得△O′AO是等边三角形，O′G的长，可得答案；
（2）分类讨论，当O′在线段BC上时，当O′在CB延长线上时，根据勾股定理，可得BO′，根据线段的和差，可得CO′．O′点的距离，根据待定系数法，可得答案；
（3）分类讨论，F在线段CB上（不予B点重合）根据折叠的性质，可得OP=O′P，根据根据全等三角形的性质，可得 O′P与CF的关系；F与B点重合，易得OA=OC=CF，可得答案．

解答：解：（1）如图：连接O′O，作O′G⊥OA与G，
∠O′AO=2∠OPA=60°，AO=AO′，
∴△O′AO是等边三角形，
∴O′（5，5

3

）．
∵5

3

＞8，
∴O′在矩形外部；
（2）在RT△ABO′中，AO′=10，AB=8，
∴BO′=

(AO′)2-AB2

=6，
①当O′在线段BC上时，
∴CO′=4，O’（4，8），
待定定系数法得，直线AO′解析式：y=-

4

3

x+

40

3

；
②当O′在CB延长线上时，CO′=16，
∴O’（16，8），
得直线AO’解析式：y=

4

3

x-

40

3

．
（3）（0，10），（0，-10），（0，

20

3

），（0，

20

7

）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了等边三角形的性质，待定系数法，分类讨论是解题关键．