Question

如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，cosC=

3

4

，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且∠AEF=∠ABC，AE与BD相交于点G．
（1）求证：

AB

CE

=

BG

CF

；
（2）设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

考点：相似形综合题,解一元二次方程-因式分解法,三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：压轴题

分析：（1）要证

AB

CE

=

BG

CF

，只需证△ABG∽△ECF，只需证到∠BAG=∠CEF，∠ABG=∠C．由∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC可证到∠ABG=∠C；由∠AEF=∠ABC可证到∠BAG=∠CEF，问题解决．
（2）作FC的垂直平分线交BC于点M，交FC于点N，易证∠ABE=∠FME，从而可以证到△ABE∽△EMF，可得AB•MF=BE•EM．只需用x、y表示出FM、EM，问题就得以解决．
（3）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，可分AE=EF和AE=AF两种情况讨论．当AE=EF时，由△ABE∽△EMF可得BE=MF，从而可以得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值；当AE=AF时，易证FE=FC，过点F作FH⊥BC，垂足为H，则有HC=

1

2

EC，结合cosC=

HC

FC

=

3

4

，就可得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值．

解答：（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C．
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°，
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°，
∠AEF=∠ABE，
∴∠BAE=∠FEC．
∵∠BAG=∠CEF，∠ABG=∠C，
∴△ABG∽△ECF．
∴

AB

CE

=

BG

CF

．
（2）解：作FC的垂直平分线交BC于点M，交FC于点N，如图2，
则有NC=FN=

1

2

FC=

y

2

．
在Rt△MNC中，cosC=

NC

MC

=

3

4

，则MC=

2y

3

．
∵MN垂直平分FC，
∴MF=MC=

2y

3

．
∴∠MFC=∠C．
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠FME．
∵∠ABE=∠FME，∠BAE=∠FEM，
∴△ABE∽△EMF．
∴

AB

EM

=

BE

MF

．
∴AB•MF=BE•EM．
∵BE=x，BC=10，MC=

2y

3

，
∴EM=10-x-

2y

3

．
又∵AB=8，
∴8×

2y

3

=x（10-x-

2y

3

）．
∴y=

30x-3x2

2x+16

．（0＜x＜10）
（3）解：①EA=EF，如图3，
∵△ABE∽△EMF（已证），
∴

BE

MF

=

AE

EF

．
∵EA=EF，
∴BE=MF．
∵BE=x，MF=

2y

3

，
∴x=

2y

3

．
∴y=

3

2

x．
∴

30x-3x2

2x+16

=

3

2

x．
整理得：x²+4x-5=0．
则有（x+5）（x-1）=0．
解得：x₁=-5（舍），x₂=1．
②AE=AF，
过点F作FH⊥BC，垂足为H，如图4，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠AFE=2∠C．
∵∠AFE=∠FEC+∠C，
∴∠FEC=∠C．
∴FE=FC．
∵FH⊥EC，
∴EH=CH=

1

2

EC．
∵EC=10-x，
∴HC=

10-x

2

．
在Rt△FHC中，cosC=

HC

FC

=

3

4

．
∴4HC=3FC．
∴4×

10-x

2

=3y．
∴y=

20-2x

3

．
∴

30x-3x2

2x+16

=

20-2x

3

．
整理得：5x²-82x+320=0．
则有（5x-32）（x-10）=0．
∴x₁=6.4，x₂=10．
∵0＜x＜10，
∴x=6.4．
综上所述：当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，BE的长为1或6.4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作FC的垂直平分线交BC于点M，进而证到△ABE∽△EMF是解决第二小题和第三小题的关键．