Question

已知x₁、x₂是方程x²-kx+

1

4

k（k+4）=0的两个根，且满足（x₁-1）（x₂-1）=

13

4

，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：（x₁-1）（x₂-1）=

13

4

，即x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

13

4

，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

13

4

，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．

解答：解：∵x₁+x₂=k，x₁x₂=

1

4

k（k+4），
∵（x₁-1）（x₂-1）=

13

4

，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=

13

4

，
∴

1

4

k（k+4）-k+1=

13

4

，
解得k=±3，
当k=3时，方程为x²-3x+

21

4

=0，△=9-21＜0，不合题意舍去；
当k=-3时，方程为x²+3x-

3

4

=0，△=9+3＞0，符合题意．
故所求k的值为-3．

点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式△≥0．