Question

16．已知，△ADB内接于⊙O，DG⊥AB于点G，交⊙O于点C，点E是⊙O上一点，连接AE分别交CD、BD于点H、F．

（1）如图1，当AE经过圆心O时，求证：∠AHG=∠ADB；
（2）如图2，当AE不经过点O时，连接BC、BH，若∠GBC=∠HBG时，求证：HF=EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BE，由DG∥BE，推出∠AEB=∠AHG，由∠ADB=∠AEB，即可推出∠ADB=∠AHG．
（2）连接AC、DE，EB、AC、BC．只要证明HG=CG，∠EDB=∠CDB，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（3）过点O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分别为N、M，连接OD、OE、OA、OB．只要证明△NOE≌△MBO，推出NE=OM=3，OB=$\sqrt{{3}^{3}+{4}^{2}}$=5，在RT△OMB中，根据sin∠OBM=$\frac{OM}{OB}$，计算即可．

解答 证明：（1）如图1中，连接BE，

∵AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°，
∵DG⊥AB，
∴∠ABE=∠AGD=90°，
∴DG∥BE，
∴∠AEB=∠AHG，
∵∠ADB=∠AEB
∴∠ADB=∠AHG．

（2）连接AC、DE，EB、AC、BC．

∠GBC=∠HBG，DG⊥AB
∴∠GHB=∠BCH，BH=BC，
∴HG=CG，
∴AH=AC，∠AHC=∠HCA，∠BAC=∠HAG
∵∠AED=∠ACH，∠DHE=∠AHC，
∴∠AED=∠DHE，
∴DH=DE，
∵∠EDB=∠EAB，∠CDB=∠BAC，
∴∠EDB=∠CDB，
∴HF=EF．

（3）过点O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分别为N、M，连接OD、OE、OA、OB．

∴BM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵DH=DE=6，HF=EF，
∴DF⊥AE，
∴∠DAE+∠BDA=90°，
∵∠E O D=2∠DAE∠AO B=2∠ADB，
∴∠BOA+∠EOD=180°，
∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM，
∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°，
∵∠NEO=∠BOM，OE=OB，
∴△NOE≌△MBO
∴NE=OM=3，
∴OB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠ADB=∠BOM，
∴∠DAF=∠OBM，
在RT△OMB中sin∠OBM=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{3}{5}$
∴sin∠DAE=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查圆综合题、同弧所对的圆周角相等、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．