Question

10．已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点，则∠APB的度数为30°或150°．

Answer 1

分析 弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°；而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论．

解答 解：情形一：如图1所示，连接OA、OB，在⊙上任取一点P，连接PA，PB，
∵AB=OA=OB，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
即弦AB所对的圆周角等于30°；
情形二：如图2所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点P，
连接AP、OP、BP，则∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BOP，∠ABP=$\frac{1}{2}$∠AOP，
∴∠BAP+∠ABP=$\frac{1}{2}$（∠BOP+∠AOP）=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵AB的长等于⊙O的半径，
∴△AOB为等边三角形，∠AOB=60°，
∴∠BAP+∠ABP=30°，∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP）=150°，
即弦AB所对的圆周角为150°
综上所述，∠APB的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．

点评 本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解．