Question

7．在等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上，有点P满足S=AP²+BP²，则（　　）

• A． 对P有无限多个位置，使得S＜2CP²
• B． 对P有有限多个位置，使得S＜2CP²
• C． 当且仅当P为AB的中点，或者P与顶点A，B之一有重合时，才有S=2CP²
• D． 对直线AB上的所有点P，总有S=2CP²

Answer 1

分析 此题分两种情况讨论：①当P在线段AB上，②当P在直线AB上（线段AB以外的部分）；可利用勾股定理来探讨符合要求的点P有哪些．

解答 解：当P为AB上时，假设P为中点时，AP=PB=PC，满足条件，
当点P不为中点时，过点C作AB的垂线，亦满足条件；
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，
即k=2CP²；
同理，当点P在AB的延长线上时，S=2CP²．
综上可知：S=2CP²．
故选D．

点评 此题主要考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面．