Question

11．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=$2\sqrt{5}$，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠GBD，从而得出△ADB≌△GDB求出AG，最后用勾股定理即可；
（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根据勾股定理求出CG，FG，从而求出CF，最后用相交弦定理即可．

解答 解：（1）如图1，延长AD、BC交于G点，过G点作GH⊥AB于H，
∵⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠GBD，
在△ADB和△GDB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠GDB}\\{BD=BD}\\{∠ABD=∠GBD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴AD=DG=2$\sqrt{5}$，AB=BG，
∴AG=$4\sqrt{5}$，
设GH=4x，∵sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴BG=BA=5x，
∴BH=3x，AH=2x，
∴（2x）²+（4x）²=（4$\sqrt{5}$）²
解得：x=2
∴半径为5；

（2）如图2，

过点C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△ABC中，AB=10，
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AC=8，∴BC=6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=2$\sqrt{5}$，
∵CD=DF，
∴DF=2$\sqrt{5}$，
在Rt△CBG中，cos∠ABD=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴GF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
∴根据勾股定理，FC=$\sqrt{C{G}^{2}+F{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
根据相交弦定理得，DF×BF=EF×CF，
∴EF=$\frac{DF×BF}{CF}$=5$\sqrt{2}$，
∴CE=$7\sqrt{2}$．

点评 此题是圆内接四边形，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相交弦定理，解本题的关键是FC，作辅助线是解本题的难点．