Question

7．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）结合已知证明△BFQ≌△AEQ，进一步得到对角线互相平分即可；
（2）延长FQ交AE于点D，证明△FBQ≌△DAQ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．

解答 证明：（1）如图1，

∵点Q为AB中点，∴AQ=BQ．
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．
在△BFQ和△AEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFQ=∠AEQ}\\{∠BQF=∠AQE}\\{BQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．
∴QE=QF．
∴四边形AEBF是平行四边形；
（2）△QEF是等腰三角形，如图2，

延长FQ交AE于点D，
由（1）知AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ．
在△FBQ和△DAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBQ=DAQ}\\{AQ=BQ}\\{∠BQF=∠AQD}\end{array}\right.$，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD．
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形．

点评 此题主要考查全等三角形的证明与应用，会组织全等三角形的条件，能分析题意构造全等三角形并证明运用是解题的关键．