Question

如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点

（1）求证：；

（2）求证：是的切线；

（3）若，且的半径长为，求和的长度．

Answer 1

1）证明：是的直径，是的切线，

．

又，．

易证，．

．．

是的中点，．．

（2）证明：连结．

是的直径，．

在中，由（1），知是斜边的中点，

．．

又，．

是的切线，．

，是的切线．

（3）解：过点作于点．，．

由（1），知，．

由已知，有，，即是等腰三角形．

，．，，即．

，

四边形是矩形，．

，易证．

，即．

的半径长为，．

．解得．．

，．．

在中，，，由勾股定理，得．

．解得（负值舍去）．．

［或取的中点，连结，则．易证，

，故，．

由，易知，．

由，解得．

又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）．］