Question

如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E为AB上一点，AE=AC．求证：

AD

AE

=

DE

BE

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由条件可证明△ADC∽△ABC，可得

AD

AC

=

CD

BC

，又可证明∠DCE=∠BCE，利用角平分线的性质定理可得

CD

BC

=

DE

BE

，结合AE=AC，可得到结论．

解答：证明：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ADC∽△ABC，
∴

AD

AC

=

CD

BC

，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠ACD+∠DCE=∠B+∠BCE，
∴∠DCE=∠BCE，
∴

CD

CB

=

DE

BE

，
∴

AD

AC

=

DE

BE

，
又AC=AE，
∴

AD

AE

=

DE

BE

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意角平分线性质定理的应用．