Question

探究与发展．
（1）我们知道11²=121，111²=12321，1111²=1234321，…
（2）我们发现（x+y）²=x²+2xy+y²，按照x的降幂排列后，其系数结构正好是1，即（1x+1y）²可以写成1x²+2xy+1y²．
（3）猜想、验证：（1x²+1xy+1y²）²，它的括号里的系数是1，1，1，那么它是否可以写成多项式1x⁴+2x³y+3x²y²+2xy³+1y⁴呢？请验证这个猜想是否成立？
（4）推广：（x³+x²y+xy²+y³）²的结果可以写成

 

．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：（3）根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，即可得出答案；
（4）根据（1）（2）（3）得出的规律得出系数依次为1、2、3、4、3、2、1，x的指数依次减少，y的指数依次升高，即可得出答案．

解答：解：（3）（1x²+1xy+1y²）²
=（1x²+1xy+1y²）（1x²+1xy+1y²）
=x⁴+x³y+x²y²+x³y+x²y²+xy³+x²y²+xy³+y⁴
=1x⁴+2x³y+3x²y²+2xy³+1y⁴，
即猜想成立．

（4）（x³+x²y+xy²+y³）²的结果可以写成x⁶+2x⁵y+3x⁴y²+4x³y³+3x²y⁴+2xy⁵+y⁶，
故答案为：x⁶+2x⁵y+3x⁴y²+4x³y³+3x²y⁴+2xy⁵+y⁶．

点评：本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算和理解能力，题目比较好，难度适中．