Question

3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．

Answer 1

分析 （1）利用36=10²-8²；2016=505²-503²说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；
（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）²-（2n）²，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2-2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：2²-0²=4，最大的为：50²-48²=196，将它们全部列出不难求出他们的和．

解答 解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：
36=10²-8²；2016=505²-503²；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），
∵（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=（4k+2）×2
=4（2k+1），
∵4（2k+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数；

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，
S=（2²-0²）+（4²-2²）+（6²-4²）+…+（50²-48²）=50²=2500．
故答案是：2500．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．