Question

1．如图所示是边长为2的菱形ABCD，∠ABC=60°，点P在CD上，且从点C运动到点D，线段CP=x，四边形ABPD的面积为y．
（1）求y与x之间的函数表达式及x的取值范围；
（2）说明是否存在这样的点P，使四边形ABPD的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先作CD边上的高线AM，通过解直角△AMD得到AM的长度，然后利用菱形的面积公式求得该菱形的面积，则y=S_菱形ABCD-S_△BCP；
（2）把y=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$代入（1）中的函数关系式来求相应的x的值即可．

解答 解：（1）如图，过点A作AM⊥CD于点M．
∵∠D=60°，AD=2，
∴AM=AD•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴y=CD•AM-$\frac{1}{2}$CP•AM=2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$x×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x（0≤x≤2），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$（0≤x≤2）；

（2）由（1）知，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$（0≤x≤2）．
把y=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$代入，得
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$，
解得x=1，
即点P是CD的中点．
所以，存在这样的点P，使四边形ABPD的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质和函数关系式．解答（1）题中的函数关系式时，利用了“分割法”来求四边形ABPD的面积，此处也可以利用梯形的面积公式进行解答．