Question

4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若AB=6，AC=$\frac{9}{2}$，BD=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．
（2）由（1）△ABD∽△CAE，得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AE}$，把AB=6，AC=$\frac{9}{2}$，BD=2，代入计算即可解决问题．

解答 （1）证明：∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
∴∠ADB=∠CEA．
∵∠DAC=∠B，
∴△ABD∽△CAE．

（2）解：由（1）△ABD∽△CAE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AE}$．
∵AB=6，AC=$\frac{9}{2}$，BD=2，
∴AE=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，就提到过房间数灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．